El diagrama de Voronoi, la forma matemática de dividir el mundo
- Details
- Category: Actualidad
- Hits: 5516
Seguramente han oído hablar alguna vez de la eterna cuestión de si lasmatemáticas se inventan o se descubren; si están ahí esperando ser descubiertas o si son una construcción del pensamiento humano que después, casualmente, permiten describir con detalle casi cualquier fenómeno natural. No se asusten, no vamos a entrar a esta hora en una discusión de tanto calado porque no es, ni mucho menos, el objetivo de este rincón que la Real Sociedad Matemática Española tiene en este medio. Lo que sí pretendemos en esta ocasión es mostrarles un ejemplo en el que las matemáticas son descubiertas porque están escondidas en el concepto natural de proximidad y/o pertenencia: el diagrama de Vor
El diagrama de Voronoi (que debe su nombre al matemático ruso Georgy Voronoi) es una estructura tan sencilla e intuitiva que hasta un niño de tres años puede entenderla. ¡Que me traigan a un niño de tres años! No pude evitar el guiño a Groucho, lo siento. Efectivamente, hace unos años me tocó ir a la clase de mi hijo (de niños de tres años) a explicar a qué me dedicaba en mi trabajo y, como era joven y audaz, me vine arriba y decidí explicarles qué era un diagrama de Voronoi a estos chicos curiosos e inquietos.
Pero, antes de contarles la batallita en el cole de mi hijo, ¿qué es el diagrama de Voronoi? Vamos a definirlo en dos dimensiones, en el plano. Pero se puede estudiar en cualquier dimensión.
El diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos en el plano es la división de dicho plano en regiones, de tal forma, que a cada punto le asigna una región del plano formada por los puntos que son más cercanos a él que a ninguno de los otros objetos. Dicho de otra manera, lo que hace dicho diagrama es dividir el plano en tantas regiones como puntos u tengamos de tal forma que a cada punto le asignemos la región formada por todo lo que está más cerca de él que de ningún otro.
Piensen por ejemplo en el plano de una ciudad y dibujen sobre él un punto por cada una de las farmacias que hay en la misma. En el caso más simple, si solo hubiese una farmacia en la ciudad la región de Voronoi de dicha farmacia sería toda la ciudad, porque todos están más cerca de dicha farmacia que de ninguna otra, puesto que no hay más. Fácil, ¿verdad?
Si hubiese dos farmacias, A y B, la ciudad quedaría dividida en dos, los que están más cerca de la farmacia A que de la farmacia B (llamaremos a esta zona Vor(A)) y los que son más cercanos a la B que la A (a esta la llamamos Vor(B)). Bueno, y los que están a la misma distancia de los 2. En honor a Euclides y aquello de que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta, mediremos la distancia en la ciudad como la longitud del segmento que une a dos puntos. Así, los puntos que están a la misma distancia de ambas farmacias son los que están sobre una recta: la mediatriz entre los dos puntos que definen las farmacias en el plano y que no es más que la recta perpendicular al segmento que une A y B por el punto medio de este. Lo hemos dibujado en la siguiente figura.
En el caso de 3 farmacias, A, B y C, razonando de forma similar y teniendo en cuenta que las mediatrices son la frontera que delimitan las regiones de influencia 2 a 2 como acabamos de ver, nos quedaría una división de la ciudad en tres regiones como las que se muestran en la figura siguiente; cada una de ellas representa la región de Voronoi de cada farmacia, es decir, la zona de la ciudad que le ‘corresponde’ por ser la farmacia más cercana.
En general, si tenemos por ejemplo 8 farmacias (8 puntos en el plano) el diagrama de Voronoi que asigna a cada uno de ellos la región de puntos más cercanos a él que a ningún otro tendría un aspecto como el de la figura siguiente:
Si ponen caramelos de colores (o chocolatinas en forma de pastillas de colores) en un plato y vierten agua sobre ellos, podrán observar cómo poco a poco se van delimitando las regiones de Voronoi de cada uno de los caramelos (tiñéndose del color correspondiente) hasta que se tocan en la frontera (como se muestra en la foto siguiente) dibujando el diagrama de Voronoi completo. Después, eso sí, se estropea porque se siguen mezclando.
Basándose en esta idea Luis M. Escudero y algunos colaboradores han ideado un método que puede servir para revolucionar el diagnóstico automatizado de ciertas formaciones tumorales. Lo que han hecho (en líneas generales), el Dr. Escudero y sus colegas, ha sido es crear un modelo de tejido epitelial (y muscular) ideal mediante el siguiente procedimiento computacional:
(1) se genera un conjunto de puntos al azar;
(2) a dichos puntos se les calcula su diagrama de Voronoi;
(3) se calcula el centro de masas de cada una de las regiones resultantes(esto nos proporciona un nuevo conjunto de puntos);
(4) se calcula el diagrama de Voronoi del nuevo conjunto.
Este proceso se repite hasta tres veces más. El aspecto que tiene este quinto diagrama de Voronoi calculado es el modelo de tejido ideal calculado por el Dr. Escudero (puesto que todas las células son similares, al expandirse, sus fronteras tienden a formar un diagrama de Voronoi). A partir de aquí estos investigadores miden cómo de parecido es el tejido de una muestra real del tejido modelo, si se parecen según ciertos parámetros (geométricos y topológicos), el tejido real está sano; en otro caso se concluye que algunas células no presentan las mismas características físicas que sus vecinas, lo que puede indicar el comienzo de un proceso tumoral. ¿No les parece sorprendente y maravilloso?
El mapa del cólera de John Snow
Convencidos a estas alturas de que el diagrama de Voronoi es una estructura inherente al concepto de proximidad y/o influencia en la naturaleza déjenme que les cuente una de las primeras aplicaciones que del mismo se conocen: el mapa del cólera de John Snow.
A mediados del siglo XIX un brote de cólera azotó la ciudad de Londres; por aquella época no se conocía con exactitud la etiología ni el método de trasmisión de la citada enfermedad, y se debatían entre dos posibilidades: el contagio por contacto con el enfermo, sus ropas y/o pertenencias; y la teoría miasmática que atribuían la trasmisión a condiciones atmosféricas, como los vientos. He aquí que el doctor Snow observó que la distribución de las muertes por cólera seguía un cierto patrón geométrico (o geográfico) muy definido, se concentraban principalmente en una zona de la ciudad. Más aún, las muertes que se producían fuera de esa zona principal eran de personas que habían estado en la misma por alguna razón. John Snow empezó a sospechar que tenía que ver con el agua, más concretamente, con una fuente situada en Broad Street. Para ello, el doctor Snow dibujó sobre el plano de Londres las regiones de influencia de cada una de las fuentes de la ciudad, entendiendo que los habitantes de la misma optarían por buscar agua en la fuente más cercana para ellos (recordemos que no existía el agua corriente). La inmensa mayoría de las muertes se quedaban en la región de influencia de la fuente de Broad Street. Con ello, el doctor Snow descubrió que la causa de la enfermedad fue la contaminación por heces fecales del agua de la citada fuente. Y todo esto antes de que naciera Voronoi.
Desde la época de Snow hasta nuestros días los diagramas de Voronoi han tenido y tienen infinidad de aplicaciones debido, sobre todo, a su estrecha relación con el concepto de regiones de influencia o dominio de los puntos que los generan. Por ejemplo, en el fútbol.
Si pensamos en los jugadores sobre el terreno de juego como puntos sobre un plano, podemos asignarle a cada uno de ellos su región de Voronoi que estará formada por los puntos del terreno de juego que están más cerca de cada jugador que del resto. Evidentemente, como los jugadores no están quietos, en general, este diagrama irá modificándose con el tiempo pero nos puede decir, en cada instante, qué equipo está mejor posicionado en el campo.
Si por ejemplo tenemos dos equipos (equipo rojo y equipo azul) que ocupan esta posición:
La ventaja posicional de un equipo sobre el otro puede que a simple vista no esté muy clara, pero si dibujamos el diagrama de Voronoi de los jugadores y coloreamos con dos colores las regiones de influencia asociadas a los jugadores de cada uno de los equipos, obtenemos:
Se puede observar que el equipo azul no sólo ocupa mayor región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con lo cual se favorecen los pases entre los distintos jugadores de dicho equipo (cosa que no ocurre con el rojo).
Como hemos dicho, este diagrama irá variando cuando se muevan los jugadores pero existen multitud de herramientas que permiten calcular estos diagramas en movimiento. Lo único que necesitamos es un entrenador que sepa cómo aplicarlo.
En este sentido, en el de regiones de influencia o dominio se pueden encontrar infinidad de aplicaciones como las del fútbol, las de la farmacias, etc. Pero otro tipo de aplicaciones que igual no se nos ocurren en primera instancia tiene que ver con las fronteras de las regiones. Imaginen que en lugar de querer encontrar la farmacia más cercana a ustedes quieren cruzar la ciudad pasando lo más lejos posible de cualquier farmacia. Igual no lo ven con farmacias pero pueden pensar en pastelerías y/o heladerías si están en eso que llaman la operación bikini. En ese caso, la ruta a seguir nos la dan las líneas de las fronteras del diagrama de Voronoi. Caminando sobre dichas líneas estaremos siempre lo más alejados posible de las dos pastelerías que comparten esa línea en su frontera de Voronoi. Esto se utiliza para, por ejemplo, evitar colisiones de barcos al atravesar zonas escarpadas de la costa.
O, quién sabe, para atacar Pearl Harbor sin que te detecten las restantes bases estadounidenses.
Esto último es una conjetura mía que, posiblemente, no tenga nada que ver con la realidad.
Ah, se me olvidaba. A los niños de 3 años les expliqué la utilidad del diagrama de Voronoi para identificar quién era el dueño de un caramelo encontrado en la clase (entendiendo que a esas edades el dueño legítimo es el que está más cerca, claro) y jugamos un rato con una simulación de caramelos que caían en el patio de juego de los Lunnis.
El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).
Lunes 24 de Abril del 2017
China lanza con éxito su primer carguero espacial
- Details
- Category: Actualidad
- Hits: 581
China ha lanzado con éxito su primer carguero espacial, la nave no tripulada Tianzhou 1, en lo que supone un nuevo paso estratégico hacia su objetivo de tener una presencia permanente en el espacio con la estación orbital que prevé concluir para 2022.
El coheteLarga Marcha-7 Y2 que llevaba a la nave ha despegado sin problemas desde el Centro Espacial de Wenchang (en la isla suroriental de Hainan), dando inicio a una misión de cinco meses de duración.
Diez minutos después del lanzamiento, la nave se ha separado del cohete y ha entrado en la órbita prevista, camino a acoplarse con el laboratorio espacial chinoTiangong 2. Se cierra así el "éxito perfecto del lanzamiento", según ha destacado un comunicado oficial.
El desarrollo de un carguero espacial es imprescindible para la construcción de la estación espacial propia, cuyo primer módulo será puesto en el espacio en 2019, un año después de lo previsto inicialmente, y que se espera concluir tres años después.
Durante su misión, la nave Tianzhou 1 (navío celestial) ensayará tres tipos de acoplamientos con el laboratorio espacial, al que estará unida durante dos meses. También trasvasará combustible para que el Tiangong 2 mantenga su órbita, así como equipos científicos y técnicos.
El primer acoplamiento tendrá lugar el próximo sábado, según las previsiones del control de la misión. Como ninguna de las naves tiene tripulantes, todas las tareas se realizarán de forma automatizada y bajo control remoto desde tierra.
Tras su periplo de cinco meses a una órbita de 385 kilómetros de altura sobre la Tierra, el carguero espacial iniciará un descenso controlado para desintegrarse en las capas altas de la atmósfera terrestre.
El principal objetivo de esta misión es comprobar el funcionamiento de esta nueva nave, que será necesaria para el transporte de todo tipo de suministros a la estación espacial.
"Este lanzamiento constituye una nueva etapa" dentro de la estrategia del programa espacial tripulado chino hacia "la construcción de nuestra estación espacial", ha explicado a la prensa antes del lanzamiento Lin Xiqiang, subdirector del Departamento de Diseño del Programa de Ingeniería Espacial.
Suministros de comida, agua y oxígeno
La futura estación espacial requerirá un suministro periódico de alimentos, agua, oxígeno y materiales, por lo que el programa espacial chino no puede plantearse su construcción sin tener previamente un sistema fiable para garantizar ese transporte.
El Tianzhou-1 es una nave de nueve metros de largo con una capacidad de carga de 6,5 toneladas y un peso total de 13 toneladas, cuyo desarrollo ha supuesto "un esfuerzo de seis años" en el diseño y construcción, ha apuntado por su parte Luo Guqiang, responsable adjunta de la misión.
El primer módulo de la estación espacial, denominado Tianhe 1 (río celestial), tendrá un peso de 20 toneladas y un brazo robot articulado, por lo que se necesita un cohete propulsor más potente, el Larga Marcha 5B, capaz de poner en órbita cargas de hasta 25 toneladas.
Sin embargo, retrasos en el desarrollo de este cohete han llevado a aplazar a 2019 el lanzamiento de ese primer módulo.
El cohete empleado hoy, el Larga Marcha-7, constituye una nueva generación de vehículos que realizó su primer lanzamiento en junio del año pasado desde este mismo centro espacial. Con 53 metros de alto, pesa 594 toneladas, combustible incluido.
Este modelo de cohete se impulsa con queroseno y oxígeno líquido, un sistema de propulsión más seguro y menos contaminante, y será el vehículo estándar del programa espacial chino para el lanzamiento de naves y sondas de hasta 13,5 toneladas de peso.
Este lanzamiento supone también la mayoría de edad del Centro Espacial de Wenchang, la cuarta instalación de este tipo que construye China y que realizó su primer lanzamiento el año pasado, precisamente el primer vuelo del cohete Larga Marcha-7.
Al estar situado junto al mar, Wenchang puede recibir por barco cohetes de mayor diámetro que los empleados tradicionalmente en China, debido a las limitaciones del transporte por vía férrea a las instalaciones situadas en los otros centros espaciales, situados muy en el interior del país.
Por ello, este centro espacial será el protagonista de los lanzamientos de los módulos de la estación espacial china, ha explicado hoy el subdirector de las instalaciones, Mao Wanbiao.
Lunes 24 de Abril del 2017
Ciclo de Conferencias - Diferentes enfoques sobre la Reserva Thomas Van Der Hammen
- Details
- Category: Actualidad
- Hits: 583
Un basurero de plástico en el Ártico
- Details
- Category: Actualidad
- Hits: 605
Fíjese en la imagen que ilustra esta noticia. La composición podría pasar, quizás, por una obra de arte moderno, pero se trata de una muestra de la variedad de fragmentos de plástico encontrados en las aguas del Ártico, un territorio poco poblado y que, hasta hace poco, permanecía relativamente virgen. Fueron recogidos durante los cinco meses que duró la circunnavegación del casquete polar ártico realizada en 2013 a bordo del buque de investigación Tara.
Los resultados de esta investigación internacional, liderada por el español Andrés Cózar, profesor del Departamento de Biología de la Universidad de Cádiz, se publican esta semana en la revista Science Advances.
El análisis de las muestras que tomó el equipo que formó parte de la expedición, compuesto fundamentalmente por ingenieros, y el estudio de la ruta que siguieron esos fragmentos de plástico gracias a una red de 17.000 boyas equipadas con geolocalizador, revelan que la mayor parte de esos residuos que han acabado en el Ártico proceden de las costas del Atlántico Norte, en particular de Escandinavia, Reino Unido y la costa Este de EEUU, y fueron arrastrados por las corrientes oceánicas. "Es un camino largo y los fragmentos pueden tardar entre uno y tres años en llegar, dependiendo de la zona de la que partan", señala Cózar en conversación telefónica.
No obstante, según explica el biólogo, parte de los plásticos recogidos tenía un origen local: "Están relacionados con el aumento del tráfico marítimo en esa zona pues, debido al deshielo, se ha convertido en una ruta muy atractiva".
300.000 millones de fragmentos
Los fragmentos encontrados en esa remota región estaban concentrados en los mares de Groenlandia y Barents (al este de Groenlandia y norte de Escandinavia). "La corriente que los lleva allí es de escala global y hasta hora se conocía porque redistribuye el calor de los océanos desde las latitudes cálidas a las polares. Hemos encontrado una relación entre esa corriente y los residuos plásticos flotantes, pues además de transportar calor también lleva esos fragmentos hasta esa zona del Ártico", explica el científico.
"Globalmente, la cantidad de plásticos que se ha encontrado en el Ártico es pequeña, pues representa aproximadamente el 3% del total de plásticos a nivel mundial. Lo más llamativo es la concentración por área", señala. Según su estimación, hay alrededor de 300.000 millones de fragmentos, la mayoría del tamaño de un grano de arroz.
La procedencia de los microplásticos hallados es diversa: "Son trocitos minúsculos, como confeti de distintas formas y colores, así que es difícil determinar el objeto original del que procedía. Lo que sí hemos encontrado es que la variedad de plásticos es muy amplia. Hay restos de bolsas y de envoltorios, trozos más rígidos, restos de redes e hilos de pesca o microesferas usadas en algunos productos cosméticos y pastas de dientes", enumera Cózar, cuya investigación ha recibido financiación de la Fundación BBVA, del Campus de Excelencia Internacional del Mar (CEIMAR) y del Ministerio de Economía y Competitividad.
El ecosistema ártico
En este estudio se han centrado en estimar las cantidades y la distribución del plástico, no en el impacto en el ecosistema: "Determinar sus efectos es un asunto bastante complejo porque los plásticos pueden actuar a distintos niveles y aún no comprendemos bien cómo lo hacen", dice Cózar, que considera, no obstante que estos resultados son "inquietantes por la singularidad del ecosistema ártico".
"El hecho de que se haya constatado la escala global de esta contaminación habiendo utilizado durante sólo unas pocas décadas los materiales plásticos, que son muy persistentes y permanecerán durante mucho tiempo, unido a que somos muy dependientes de ellos, hace que no sea necesario esperar a comprender cuáles serán los efectos para actuar. Es el momento de tomar acciones para mejorar el modelo de gestión de los plásticos", reclama el científico, que en anteriores investigaciones ha puesto de manifiesto la gran concentración de residuos de este tipo que hay por toda la Tierra.
En 2014, su equipo demostró con un estudio realizado durante la expedición oceanográfica Malaspina, que les llevó a recorrer el planeta entre 2010 y 2011, que la acumulación de plásticos es un problema que afecta a todo el globo. Según su estimación, hay entre 7.000 y 35.000 toneladas de plásticos flotando en los océanos. La mayor parte está concentrada en los denominados giros oceánicos subtropicales, que actúan como grandes zonas de convergencia de esos residuos. Aún así, la cantidad de plástico encontrada fue inferior a la que esperaban.
En el Mediterráneo, un mar que también han investigado, "las concentraciones de plásticos son comparables a las de los giros, es decir, son bastante altas y tienden a acumularse porque el transporte hacia otras zonas a través del estrecho de Gibraltar es muy limitado y hay una alta densidad de población", señala.
Lunes 24 de Abril del 2017
Júpiter en todo su esplendor: hoy está en su punto más cercano a la Tierra
- Details
- Category: Actualidad
- Hits: 587
Este sábado, 8 de abril, Júpiter estará en su punto más cercano a la Tierra, a 666 millones de kilómetros, por lo que se verá más grande y brillante que en otros momentos. Basta usar unos buenos prismáticos para poder contemplar el disco de Júpiter y sus cuatro satélites más grandes: Ío, Europa, Ganímedes y Calisto.
Hace unos días, el 3 de abril, mientras el planeta más grande del Sistema Solar hacía su máxima aproximación a la Tierra del año, el telescopio espacial Hubble lo fotografió en todo su esplendor.
A una distancia de 668 millones de kilómetros de la Tierra, Júpiter ofreció espectaculares vistas de su colorido y turbia atmósfera, la legendaria Gran Mancha Roja, y su compañera más pequeña en las latitudes del sur conocida como Mancha Roja Jr.
El 7 de abril, el planeta gigante estuvo en "oposición", colocado directamente opuesto al Sol desde la Tierra. Esto significa que el Sol, la Tierra y Júpiter se alinean, con la Tierra asentada entre el Sol y el gigante de gas. La oposición marca el punto más cercano de Júpiter a nosotros, y el planeta parece más brillante en el cielo nocturno que en cualquier otro momento del año.
Este posicionamiento permitió a un equipo dirigido por Amy Simon, del Centro de Vuelo Espacial Goddard de la NASA en Greenbelt, Maryland, observar Júpiter usando la cámara de campo ancho 3 de Hubble. Hubble fotografió exquisitos detalles en la atmósfera de Júpiter, tan pequeños como de unos 129 kilómetros de ancho.
Enormes tormentas
Con sus enormes y potentes tormentas y cientos de vórtices más pequeños, la atmósfera de Júpiter está dividida en varias bandas separadas, coloridas, paralelas al ecuador. Estas bandas, alternando con movimientos de viento, son creadas por las diferencias en el espesor y la altura de las nubes de hielo de amoníaco; las bandas más claras aumentan más y tienen nubes más gruesas que las bandas más oscuras. Las bandas están separadas por vientos que pueden alcanzar velocidades de hasta 644 kilómetros por hora.
Por otro lado, el pasado 25 de febrero, el astrónomo Damian Peach capturó desde Chile esta espectacular imagen de Júpiter con un telescopio de Cassegrain de 1 m de diámetro, según ha informado la Agencia Espacial Europea (ESA) en un comunicado. La foto muestra la 'Gran Mancha Roja' (centro a la izquierda) y la 'Pequeña Mancha Roja' (abajo a la derecha), más joven, también denominada Óvalo Blanco BA.
Según detalla la ESA, Estas manchas son, en realidad, vastas tormentas de gran virulencia: la Gran Mancha Roja lleva produciéndose más de 300 años y su extensión es mayor que la de la Tierra.
Martes 11 de Abril del 2017
More Articles...
Conoce más sobre mi
Denuncias Públicas
Consultor Internacional
Sociedad Colombiana de Topógrafos
Ingeniería Mundial y Geomática
Cosas que no entiendo
Invitaciones
Mis Acciones en la SCI
Recomendados del mes
